矩阵分解

理解矩阵的关键是理解矩阵分解的条件和结论。

任意一个矩阵，都存在对应的SVD分解，满足：

其中为正交矩阵，为对角矩阵。进一步，若A为对称正定矩阵，。

注意：，所以实际上是的特征向量，同理是的特征向量。

原理是高斯消元法，任意可逆矩阵,可以分解为下三角和上三角矩阵的乘积，满足：

且上式的分解是唯一的，其中L是下三角矩阵。进一步，中间仍然可以拆一个对角矩阵出来，成为分解。更进一步，实际上对于正定矩阵，可以进一步写为 $分解$ 。

用施密特正交化来理解，任意一个矩阵, 存在一个正交矩阵,和上三角矩阵满足：

n级方阵A $𝕟 𝕟$ ,正交相似于上三角矩阵的充要条件是：的特征多项式在复数域中的根都是实数。

n级复矩阵一定相似于一个上三角矩阵。